Morfog�nese: borboleta cauda de andorinha

Nas c�usticas de luz [2] vimos a c�spide associada � ruga, e foi dito que se lhe seguia a cauda de andorinha. Podemos recordar o contexto: estamos no �mbito da Teoria das Cat�strofes e da elabora��o da lista das sete cat�strofes elementares, correspondentes ao desdobramento universal de um polin�mio - entendido como fun��o de Lyapounov [3] - que governa um sistema din�mico que se expressa numa din�mica; os pontos em que o gradiente se anula s�o os equil�brios, podem ser est�veis ou inst�veis, ou ainda degenerados, e est�o reunidos numa variedade real. Estamos fora do �mbito das variedades complexas, aqui n�o interv�m n�meros imagin�rios.

No plano real Peirce referiu as c�spides e inflex�es como singularidades ordin�rias bem como os pontos estacion�rios e as tangentes , e ainda definiu uma singularidade de tipo superior como sendo uma que difere muito pouco de um agregado de singularidades ordin�rias. Peirce analisava as singularidades no plano cartesiano [4] mas � poss�vel fazer uma extens�o para o espa�o com mais dimens�es.

� assim que se v� que a ruga � formada por duas dobras, sendo a dobra a cat�strofe elementar, e a cauda de andorinha � formada por uma ruga e uma dobra. O nome cauda de andorinha foi sugerido pelo matem�tico cego franc�s Bernard Morin [5].

Tamb�m vale a pena recordar que o termo cat�strofe n�o tem aqui a conota��o negativa da linguagem corrente, corresponde a uma transi��o abrupta, uma transi��o de fase, mas tanto pode ocorrer num sentido negativo como positivo. Nas palavras de Thom era essa transi��o abrupta, uma descontinuidade no comportamento, que muitas vezes salvava o sistema. Ali�s Thom preferia designar o tema geral como morfog�nese[6] retomando a express�o de Alan Turing, e insistia que a TC era uma linguagem e um m�todo que visa encontrar o modelo din�mico mais simples capaz de explicar uma morfologia emp�rica.

O conjunto catastr�fico num tal sistema din�mico � o complementar do conjunto aberto dos pontos regulares - � o conjunto fechado dos pontos singulares -, tamb�m chamado conjunto de bifurca��o, entendendo-se por singularidade uma figura que se concentrou num ponto; o conjunto catastr�fico obt�m-se projectando a sub-variedade dos equil�brios degenerados no espa�o definido pelos par�metros de controlo.

Tinha-se uma boa imagem na c�spide e tamb�m se tem uma boa id�ia na figura seguinte onde o ponto f se designa ponto cauda de andorinha e � medida que nos aproximamos do ponto, fazendo um corte vertical, v�-se que a estrutura permanece a mesma, embora cada vez mais pequena: condensa��o progressiva da figura num ponto.

Fig. 1 - esquema do conjunto catastr�fico cauda de andorinha
em que o ponto f � o ponto cauda de andorinha [7]

No diagrama seguinte apresenta-se a configura��o dos diferentes equil�brios do sistema (inflex�es, m�nimos e m�ximos) segundo um corte vertical nesse esquema.

Fig. 2 - corte vertical do esquema anterior mostrando a taxonomia
das fun��es estabilizadas [8]

A cauda de andorinha e a borboleta s�o as duas cat�strofes elementares que fecham a sequ�ncia das que t�m uma s� vari�vel de comportamento (ou de resposta) - designadas genericamente por cusp�ides - e v�rios par�metros. O ponto de partida � a n�o-cat�strofre elementar: o m�nimo de uma fun��o potencial, o estado elementar do ser, que se coloca como hip�tese e que funda a estabilidade estrutural.

Fig. 3 - caracteriza��o das singularidades cauda de andorinha
e borboleta na lista de Thom[9]

O desdobramento universal da cauda de andorinha expressa-se canonicamente como uma f�rmula com tr�s par�metros de controlo {u,v,w} e uma vari�vel-resposta x inserida na arquitectura de um polin�mio de grau 5. Usando a interpreta��o cinem�tica de Peirce na caracteriza��o da c�spide[10], tamb�m na cauda de andorinha podemos ensaiar uma leitura cinem�tica sobre o diagrama can�nico interpretado como um legissigno ic�nico rem�tico[11] na classifica��o de Peirce, comportando uma lei.

Fig. 4 – diagrama simplificado da cauda de andorinha com leitura cinem�tica

Nesta leitura o ponto f representa um ponto de retorno, trata-se no entanto de um regresso ao futuro, j� que segue por uma linha diferente da traject�ria original, onde � conta de duas c�spides (sendo uma delas dupla) regressou � direc��o principal mas sentido diverso – a cauda de andorinha pode ser vista como a figura do retorno, a que podemos associar a par�bola de que as andorinhas anunciam o regresso da Primavera. Petitot caracterizou-a como sendo a figura da deixis[12], um sistema de indicadores.

A cauda de andorinha foi o t�tulo e o tema do �ltimo quadro de Salvador Dali.

Fig. 5 - Salvador Dali, 1983: Swallowtail

Sucede que a cauda de andorinha tem poucos equil�brios est�veis quando comparados com os inst�veis, para um grande n�mero de condi��es, pelo que n�o � um bom modelo qualitativo para fixar estados emp�ricos. A cat�strofe que se lhe segue - a borboleta - pelo contr�rio, cont�m tr�s camadas distintas de equil�brios est�veis, representando a interm�dia um compromisso entre as outras duas.

Fig. 6 – sec��o do diagrama de fase da cat�strofe borboleta[13]

Fig. 7 – borboleta cauda de andorinha, foto da Wikipedia

A cat�strofe borboleta tem uma f�rmula que comporta uma vari�vel-resposta e quatro par�metros. Que interpreta��o podemos fazer disto? Imaginemos, a prop�sito da situa��o contempor�nea de crise internacional que a vari�vel resposta representa um �ndice de confian�a e ent�o os quatro par�metros que definem o espa�o de controlo podem ser entendidos como �ndices de verdade, liberdade, igualdade e solidariedade: {v,l,i,s}. A confian�a � fun��o daqueles quatro par�metros e a sua retoma exige uma concerta��o adequada. Na cauda de andorinha temos � mesma uma vari�vel resposta e tr�s par�metros, seja {v,l,i}, � a falta de solidariedade que instabiliza a situa��o dir-se-ia; outras interpreta��es s�o poss�veis, obviamente, a falta de ader�ncia � verdade � letal para a credibilidade do sistema.

Estamos a falar de morfog�nese, o tema que foi introduzido por Alan Turing[14] a partir da formula��o matem�tica de processos de reac��o-difus�o, e que era o quadro a partir do qual Thom enunciava os modelos.. A palavra chave � desdobramento universal [15] de um polin�mio definido como um desdobramento versal com o n�mero m�nimo de par�metros, no �mbito da teoria da estabilidade estrutural.

Tamb�m em Ecologia o tema � recorrente, o espa�o de Turing ficou uma refer�ncia conceptual [16], sendo aplicada a defini��o de cat�strofe ao caso em que uma popula��o decresce abruptamente de um estado de abund�ncia para baixa densidade [17], rarefac��o,  podendo ser v�rias as causas, tema ali�s que vem sendo tratado na rela��o com os recursos desde Malthus para n�o ir mais longe.

PS: Caro Leonardo Boff, desde h� muito que o leio, creio que vamos no mesmo sentido e se calhar no mesmo barco, complexo por certo, ou real ainda por fazer, fazendo-se. Desde que vi que, antes de mim, voc� e o Wilson j� tinham usado o termo biofilia, que trabalhei aqui [18], que nos senti companheiros.

Li este seu texto [19] enquanto compunha estas palavras que apresento em cima. O meu esfor�o, nestes �ltimos tempos, foi fazer pela reabilita��o do rigor da Escola Francesa, desgra�adamente banido de cena durante uns tempos pela p�rfida orienta��o da pol�mica Sokal. Foi agenda pol�tica, esta escola de pensamento era a �nica que se poderia ter oposto � vertigem da adrenalina da acelera��o do lucro e do embuste, porque � mais plat�nica do que aristot�lica, v� formas. Agora j� est� de novo em cima da mesa.

[1] Ivar Ekeland. 1984. Le Calcul, l'Imprev� – les figures du temps de Kepler � Thom. �ditions du Seuil. Paris.

[2] http://www.triplov.pt/casquilho/2008/Causticas-de-luz/index.html

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_function

[4] 372.5 singularities] Peirce defines singularity in geometry as (CD 5648): (. . .) An ordinary singularity is one of a set of singularities of which all others are modifications or compounds. Thus, an actual node upon a skew curve is a modification of an apparent node, and ought not to be reckoned as an ordinary singularity. But cusps and inflections, as stationary points and tangents, are ordinary singularities. A higher singularity is one which differs indefinitely little from an aggregation of ordinary singularities.

[5] Alexander Woodcock e Monte Davis. 1984. Th�orie des catastrophes. Editions l'Age d' Homme, Lausanne

[6] Ren� Thom (s/ data). Morphogen�se et Imaginaire. Circ� 8-9 Cahiers de Recherche sur l' Imaginaire. Pp : 7-24

[7] Jean Petitot-Cocorda. 1992. Physique du Sens – De la  th�orie des singularit�s aux structures s�mio-narratives. CNRS, Paris

[8] Petitot. 1985. Local/global in Enciclop�dia Einaudi: vol 4, Local/global

[9] Ren� Thom. 1980. Mod�les Math�matiques de la Morphogen�se. Christian Bourguois Ed., Paris

[10] 373.2 cusp] A cusp is defined by Peirce as (CD 1412): "a stationary point on a curve where a point describing the curve has its motion precisely reversed" (p. 1412).

[11] cf. Elizabeth Walter-Bense. 2000. Teoria Geral dos Signos. Editora Perspectiva, S�o Paulo

[12] Jean Petitot. 1983. Th�orie des catastrophes et structures s�mio-narratives in S�miotique et th�orie des catastrophes. Actes Semiotiques, V, 47-48

[13] Jean Petitot-Cocorda. 1992. Physique du Sens – De la  th�orie des singularit�s aux structures s�mio-narratives. CNRS, Paris

[14] Alan Turing. 1952. 'The chemical basis of morphogenesis' from Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series B, No.641, Vol. 237.

[15] G Nicolis. 1995. Introduction to nonlinear science. Cambridge University Press

[16] Affonso G Gomes e Maria Cristina Varriale. 2001.  Modelagem de Ecossistemas: uma introdu��o. Editora da Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria

[17] Ricard V Sol� e Jordi Bascompte. 2006. Self-Organization in Complex Ecosystems. Monographs in Population Biology 42, Princeton University Press

[18] http://www.triplov.pt/creatio/casquilho.html

[19] http://www.triplov.pt/boff/2009/suicidario.htm