envelope da elipse

Caustica � o nome de uma curva, ou superf�cie, definida como o envelope dos raios de luz reflectidos, ou refractados, por uma dada curva, a partir de um foco radiante, emissor. Em matem�tica, um envelope de uma fam�lia de variedades � uma variedade que � tangente a cada membro da fam�lia em algum ponto. Banchoff (1990) mostra que os raios emergindo dos pontos focais de uma elipse formam uma caustica, e, acrescentando mais uma dimens�o constr�i a superf�cie de cat�strofe da aplica��o normal, o desdobramento espacial do envelope.

superf�cie de cat�strofe da elipse (Banchoff)

O conceito matem�tico de envelope como variedade, vem da abstrac��o de fen�menos �pticos, pois a palavra ca�stica vem do termo grego καυστός que significa queimar, atrav�s do latim causticos, e aplica-se na descri��o de imagens formadas pela luz, quando atravessa um vidro ou �gua.

c�ustica de luz

Nas causticas aparecem pontos de c�spide de que o diagrama seguinte d� uma ilustra��o. Peirce deu uma interpreta��o cinem�tica definindo o ponto de c�spide como sendo o s�tio estacion�rio numa curva onde um ponto que se desloca v� o seu movimento invertido.  De acordo com a terminologia de Peirce o gr�fico seguinte pode interpretar-se como um sinsigno ic�nico-rem�tico pela sua natureza de diagrama mas tamb�m legisigno ic�nico-rem�tico porque comporta uma lei.

diagrama do ponto de c�spide atrav�s do movimento da estrela

Essa interpreta��o cinem�tica n�o � a �nica, um ponto de c�spide tamb�m pode ser obtido como projec��o da curva de contorno da superf�cie de Riemann-Hugoniot, mais geralmente conhecida como a cat�strofe da ruga, que se exemplifica na sucess�o de gr�ficos da figura abaixo. Neste contexto a c�spide adquire o g�nero feminino, passa a ser a designa��o da curva associada ao ponto, no �mbito da teoria das Cat�strofes de Ren� Thom. Neste quadro existe uma fun��o potencial que governa un sistema que se expressa numa din�mica de gradiente e os pontos onde o gradiente se anula s�o os equil�brios, que podem ser est�veis ou inst�veis, sendo estes �ltimos lugares de transi��o arrumando-se todos numa variedade de equil�brios.

c�spide obtida como projec��o da curva de contorno da ruga

A lei que lhe sucede, dentro da lista de cat�strofes elementares elaborada por Thom, designa-se por cauda de andorinha. � a figura da deixis (Petitot, 1983) e inspirou o �ltimo quadro de Dali. Arnold (1986) refere que no espa�o 3-Dimensional as �nicas singularidades est�veis dentro do conceito de causticas s�o a c�spide e a cauda de andorinha, todas as outras dissolvendo-se perante pequenas perturba��es. Se a cuspide permite a esquematiza��o da crise (Mour�o e Casquilho, 2000), que possa a cauda de andorinha anunciar novos tempos.

cauda de andorinha (Banchoff)

Refer�ncias

Adriano D. Rodrigues. 1996. Dimens�es Pragm�ticas do Sentido. Edi��es Cosmos, Lisboa.

Elizabeth Walther-Bense. 2000. A Teoria Geral dos Signos. Editora Perspectiva. S�o Paulo.

Jean Petitot. 1983. Th�orie des catastrophes et structures s�mio-narratives in S�miotique et th�orie des catastrophes. Actes Semiotiques, V, 47-48

Jos� Augusto Mour�o e Jos� Casquilho. 2000. Cat�strofes fiduci�rias: o valor ondulat�rio do dinheiro. Comunica��o e Sociedade, Cadernos do Noroeste, vol 14 (1-2), 193-204.

Michel Demazure. 1989. Catastrophes et Bifurcations. �ditions Ellipses, Paris.

Thomas F. Banchoff. 1990. Beyond the Third Dimension. Scientific American Library. New York.

Vladimir I. Arnold. 1986. Catastrophe Theory. Springer-Verlag, New York.