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JOSÉ CASQUILHO::::......:::: |
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Dos n�meros: entre signo e valor |
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(…) en employant au lieu des nombres eux-m�mes, des signes ou symboles
g�n�raux qui n’aient aucune relation particuli�re avec les valeurs des
nombres qu’ils repr�sentent. Pour attendre ce but on fait usage des
lettres de l’alphabet.
E. Tarnier [1]
Number
signs probably preceded number words, for it is
easier to cut notches in a stick than it is to establish a
well-modulated phrase to identify a number.
Carl B. Boyer [2] |
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A
meu ver poucas hist�rias h� t�o belas como as dos n�meros, conceitos ou
entes mentais que se foram construindo num processo gerativo onde
concorreram v�rias culturas, ao longo de mil�nios, erguendo uma
linguagem universal da humanidade.
Do
lado do pensamento ocidental j� Arist�teles tinha esclarecido que n�mero
� n�mero de alguma coisa, um �ndice espec�fico, enquanto que Plat�o em A
Rep�blica antecipava [3] que o c�lculo e a aritm�tica versam
inteiramente sobre o n�mero e eram ci�ncias pr�prias para conduzir �
verdade.
A
prop�sito da unidade e recordando Euclides: o um � aquilo em virtude do
qual cada um dos seres � dito uno, e os n�meros s�o a multiplicidade
constitu�da de unidades [4]. Falamos aqui dos n�meros naturais, inteiros
positivos, herdados do problema da contagem, a que outros na
Antiguidade, salientando-se Diofanto [5], o autor de
Arithmetica, acrescentaram os n�meros gerados pelos problemas da
medida, sobretudo relacionados com comprimentos e �reas, que envolviam o
c�lculo de fra��es e ra�zes na solu��o de equa��es. � sabido [6] que os
matem�ticos gregos, tendo a no��o de grandeza incomensur�vel, mas n�o
tendo a no��o correspondente de n�mero irracional, constitu�ram a
matem�tica sob forma geom�trica, considerando em vez de n�meros
segmentos de recta, para assim abrangerem as grandezas comensur�veis, os
n�meros racionais, e as incomensur�veis.
Na
cita��o em ep�grafe de Tarnier v�-se que na �lgebra, no final do s�culo
XIX, se colocava no lugar dos n�meros propriamente ditos signos
ou s�mbolos gerais que t�m uma rela��o arbitr�ria com os
valores dos n�meros que representam - e assim
s�o substitu�dos por letras do alfabeto.
O
signo, semeion em grego, era para os est�icos uma entidade
que significava mediante um incorporal, uma implica��o [7], n�o
redut�vel a qualquer express�o f�sica que lhe estivesse associada; os
incorporais n�o s�o coisas, s�o estados de coisas, modos de ser; o
lekton, o diz�vel, � dessa categoria e no seu sentido pleno
� uma proposi��o. Os est�icos quando falam de signo referem-se a algo de
imediatamente evidente que se reporta a outro algo n�o imediatamente
evidente.
O
signo como aliquid stat pro aliquo - algo que est� no lugar
de alguma outra coisa -, era a defini��o cl�ssica herdada que Peirce em
1897 refinou como sendo [8]: algo que est� para algu�m por algo sob
algum aspecto ou capacidade.
As
letras do alfabeto s�o s�mbolos, definindo-se s�mbolo como um signo
vagamente codificado. Pode-se ver que a utiliza��o diacr�nica de letras
do alfabeto em matem�tica vai ficando cada vez mais imersa num campo que
lhes adensa o significado: sem�ntico, portanto.
Tamb�m se pode apelar a uma redu��o bin�ria: desde Saussure que o signo
pode considerar-se um valor [9] representado num significante f�sico, a
que se associa um significado mental, e ainda ser considerado nos eixos
da sincronia e da diacronia; a linguagem seria assim o processo
semiol�gico por excel�ncia onde a sem�ntica � referida como tendo por
objecto analisar deslocamentos da rela��o entre o significado e o
significante.
O
valor de um n�mero pode assim ler-se como o n�mero
propriamente dito inserido num sistema ordenado e expresso num c�digo,
por exemplo escrito em linguagem decimal - o conjunto
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} foi adquirido como alfabeto num�rico na Europa
desde que Leonardo de Pisa, em 1202, escreveu o
Liber Abaci com que introduziu na Europa o sistema de numera��o
hindu-�rabe incluindo um pequeno c�rculo para s�mbolo do zero [10, 11]. |
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�rvore
geneal�gica do sistema de numera��o hindu-�rabe |
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Ainda hoje os primeiros d�gitos do sistema decimal n�o t�m a mesma
probabilidade de ocorr�ncia nos n�meros encontrados na vida real [12],
aparecendo o n�mero 1 com maior frequ�ncia, cerca de 30 por cento,
enquanto o n�mero 9 apenas ocorre na ordem de 4 por cento.
As
letras do alfabeto come�am por ser inc�gnitas na resolu��o
de equa��es, tomando o lugar de coisa, verificando as
liga��es sint�ticas das f�rmulas que as opera��es envolvidas tornam
poss�veis, das quais se extraem solu��es, incluindo a solu��o ‘n�o ter
solu��o’: o conjunto vazio de solu��es, representante de uma
impossibilidade no campo dos n�meros admiss�veis no contexto ou quadro
axiom�tico em que o problema se admite bem colocado.
Em
termos actuais diz-se que [13]: nas aplica��es das matem�ticas um n�mero
real Y � quase sempre substitu�do por um n�mero racional X, que � um
valor aproximado deste; quer dizer que a diferen�a Y-X est� compreendida
entre –ε e + ε, em que ε � um n�mero positivo a que se chama a
aproxima��o de Y por X, ou o erro cometido sobre Y; X � chamado um valor
aproximado de Y a menos de ε, sendo o pr�prio Y considerado como o seu
valor exacto.
Essas letras do alfabeto, latino, grego ou ainda outros como o hebreu,
constituem a designa��o de (n�meros) vari�veis na teoria
das fun��es: aplica��es que transformam um objecto do dom�nio numa
imagem que se expressa no contradom�nio. Essas vari�veis podem vir a
constituir variedades [14, 15], estruturas matem�ticas
elaboradas que podem ser reais ou complexas. A variedade dos equil�brios
de um sistema din�mico � um exemplo e a variedade de informa��o segundo
uma dada m�trica � outro.
Como nos reporta Cara�a [16] foi a supera��o sucessiva de
impossibilidades num�ricas pelo engenho humano, e a sua internaliza��o
no sistema, que permitiu alargar mais e mais o conceito de n�mero; do
n�mero natural passou-se aos racionais atrav�s do c�lculo de fra��es,
depois aos irracionais atrav�s de ra�zes e ainda outras excurs�es que
atingem os infinitos de Cantor.
A
essa conquista pela extens�o sucessiva dos n�meros reais resistiu a
unidade imagin�ria, a raiz quadrada de menos um, imposs�vel de
internalizar por raz�es de incompatibilidade l�gica com o sistema dos
n�meros reais a partir do argumento de que n�o h� �reas negativas, mas
ainda assim insidiando-se misteriosamente no c�lculo de tal forma que �
atribu�da a Hadamard a cita��o de que o caminho mais curto entre duas
verdades no dom�nio real atravessa o dom�nio complexo [17].
Na
geometria fractal existe o conceito de dimens�o de informa��o [18], um
n�mero real, que mede a varia��o de informa��o no comportamento dinamico
de um sistema ca�tico. A dinamica simb�lica � usada para analisar a
dinamica de fun��es e uma fun��o diz-se ca�tica se manifesta depend�ncia
sens�vel das condi��es iniciais [19], podendo ser fortemente ca�tica se
al�m de ser ca�tica tiver um conjunto denso de pontos per�odicos e
transitividade. Uma aplica��o do espa�o de fase para o espa�o dos
s�mbolos � designada por din�mica simb�lica [20] e consequentemente o
caos pode ser visto como um gerador de s�mbolos se se provir um c�digo
no espa�o de fase [21]. No entanto, Mandelbrot recordava-nos que quando
a medida de complexidade de um conjunto � obtida pelo menor comprimento
do (melhor) algoritmo dispon�vel num dado alfabeto se conclui que uma
curva fractal imbrincada � mais simples do que um c�rculo [22]; ou seja,
de acordo com essa m�trica, o c�rculo, s�mbolo da m�nada, � mais
complexo do que uma complicada linha requebrada.
Alguns reclamam que a informa��o � apenas f�sica [23], definindo
informa��o quantica como a que � transportada por um sistema f�sico
obedecendo �s leis da mec�nica quantica. Mas outros observam que a
informa��o quantica, quando ocorre entrosamento, tem como consequ�ncia
que se observam eventos f�sicos cuja distribui��o marginal n�o �
consistente com nenhuma distribui��o conjunta e assim ofende-se o
princ�pio do realismo local [24].
H�
autores que esclarecem que adoptar a posi��o epist�mica do realismo
cient�fico n�o implica rejeitar entidades n�o f�sicas [25]. O conceito
de episteme organizado por Greimas e Court�s [26] define-se
como a organiza��o hier�rquica de v�rios sistemas semi�ticos capaz de
gerar, atrav�s de uma combinat�ria e regras de (in)compatibilidade, o
conjunto de manifesta��es cobertas por esses sistemas numa dada cultura.
Tamb�m Eco nos lembra que [27] a informa��o da mensagem n�o se confunde
com a informa��o na fonte, esta era informa��o f�sica, comput�vel
quantitativamente, e aquela � informa��o semiol�gica, n�o comput�vel
quantitativamente, mas defin�vel atrav�s da s�rie de significados que
pode gerar, uma vez posta em contacto com os c�digos. Recorde-se que o
c�digo [28] � um sistema de signos que, por conven��o e de acordo com
regras pr�-fixadas, est� destinado a representar e transmitir a
informa��o entre emissor e receptor.
O
par de informa��o f�sica/semiol�gica � relevante da distin��o
significante/significado e pode-se alegorizar atrav�s da Pedra da
Roseta: os hieroglifos eg�pcios estavam l�, marcados na pedra ou
pintados, significantes, mas n�o se conseguiam decifrar e interpretar
at� ter um c�digo que o viabilizasse.
Em
geral, retomando Umberto Eco pode dizer-se que entre o significado e o
s�mbolo incorrem rela��es onomasiol�gicas, conferindo determinados nomes
a significados, ao passo que entre o s�mbolo e o significado existem
rela��es semasiol�gicas, onde determinados s�mbolos designam
significados. Assim acontece com as letras em matem�tica, conforme o
contexto podem ser n�meros constantes ou vari�veis e na teoria de
fun��es representar objectos, imagens, e ainda parametros, que cobrem ou
resolvem-se em conjuntos de n�meros. |
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Tableta YBC 7289, cole��o da Yale University, dinastia de Hamurabi [29];
o autor refere que feitas as convers�es adequadas est� representado o
n�mero 1,414213 que � a expans�o decimal aproximada da ra�z quadrada de
2. |
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Falar de valor real em vez de n�mero real e de
valor complexo em vez de n�mero complexo � corrente, sendo que o
primeiro � um escalar, representado por um ponto numa recta com origem e
sentido de ordena��o e o segundo � representado no plano cartesiano como
um vector. O valor real � um escalar e o valor complexo � um vector,
signo da for�a, expresso como z=x+iy ou (x,y) supondo a base (1,i),
pr�ximo de uma denota��o do par informacional f�sico/semiol�gica,
emparelhado com o par saussureano significante/significado, por sua vez
an�logo do par valor de troca/valor de uso que se utiliza na economia.
O
universo dos n�meros � fascinante. Para al�m dos n�meros reais e fazendo
uso dos transfinitos de Cantor controem-se n�meros surreais [30]; estes
�ltimos formam eventualmente a cole��o de todos os n�meros conceb�veis
pelo engenho humano at� hoje, mas n�o formam um conjunto: seria o
conjunto de todos os conjuntos que se demonstra conduzir a uma
contradi��o, violando a lei da cardinalidade. |
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Refer�ncias: |
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[1] E. A. Tarnier. 1857. �l�ments d’ Alg�bre. Librairie de la Hachette
et Cie, Paris.
[2]
Carl B. Boyer. (1968) 1991.
A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., New York.
[3]
J. Guinsburg. 2006. A Republica de Plat�o. Editora Perspectiva SA, S.
Paulo, pag. 279
[4]
Ambrogio G. Manno. 1982. A Filosofia da Matem�tica. Edi��es 70, Lisboa,
pag. 26
[5]
http://pt.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alexandria
[6]
Francisco G. Teixeira. 1934. Hist�ria das matem�ticas em
Portugal.Arquimedes Livros, Lisboa, 2006.
[7]
Umberto Eco. 1994. Signo. Enciclop�dia Einaudi, vol 31, Signo,
p:11-51, Imprensa Nacional Casa da Moeda, Lisboa
[8]
Umberto Eco. 1994. Significado. Enciclop�dia Einaudi, vol 31,
Signo, p:52-97, Imprensa Nacional Casa da Moeda, Lisboa
[9]
Ferdinand de Saussure. 1916 (1971). Curso de Lingu�stica Geral.
Publica��es Dom Quixote Lda., Lisboa, 1999.
[10] Giulio Giorello e Marco Mondadori, 1989. Zero.
Enciclop�dia Einaudi, vol.15: C�lculo-Probabilidade,
pp: 64-99.
[11]
http://br.monografias.com/trabalhos915/da-triade/da-triade.shtml
[12] Nuno Crato. 2008. A Matem�tica das Coisas. Gradiva, Lisboa.
[13] Jean Dieudonn�. 1987. A Forma��o da Matem�tica Contempor�nea (Pour
l’honneur de l’esprit humain – Les math�matiques aujourd’hui),
Publica��es Dom Quixote Lda, Lisboa, 1990.
[14]
http://pt.wikipedia.org/wiki/Variedade
[15]
http://www.math.ist.utl.pt/~rfern/GD/notaspI.pdf
[16] Bento de Jesus Cara�a. 1946. Conceitos Fundamentais da Matem�tica.
Livraria S� da Costa Editora, Lisboa, 1984.
[17] cf. Paul J. Nahin. 2007. An Imaginary Tale. Princeton University
Press, New Jersey.
[18] Manfred Schroeder. 1991. Fractals, Chaos, Power Laws. W. H. Freeman
and Company, New York.
[19] Denny Gulick. 1992. Encounter with Caos. McGraw-Hill, Inc., New
York.
[20] Christian Beck e Friedrich Schl�gl. 1993. Thermodynamics of chaotic
systems – an introduction. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[21] Kunihico Kaneco e Ichiro Tsuda.
2001. Complex Systems: Chaos and Beyond. Springer-Verlag, Berlin.
[22] Benoit B. Mandelbrot. 1983. The Fractal Geometry of Nature. W. H.
Freeman and Company, New York.
[23] D�nes Petz. 2008. Quantum Information Theory and Quantum
Statistics. Springer- Verlag, Berlin.
[24] Thomas M. Cover e Joy A. Thomas. 2006. Elements of Information
Theory. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken.
[25] Stathis Psillos. 2006.
Scientific Realism and Metaphysics. Metaphysics in Science (ed. A.
Drewery), Blackwell Publishing, Malden, pp: 14-32.
[26] cf. Jacques Fontanille e Claude Zilberberg. 1998. Tens�o e
Significa��o. Discurso Editorial, S�o Paulo, 2001.
[27] cf.
http://www.triplov.pt/casquilho/2009/Mensagem/index.html
[28] Miquel R. Alsina. (1989) 1995. Los Modelos de la Comunicaci�n.
Editorial Tecnos, S.A., Madrid.
[29] Eli Maor. 2007. The Pythagorean Theorem. Princeton University
Press, Princeton.
[30]
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_surreal |
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Jos� Pinto Casquilho.
Centro de Ecologia Aplicada Baeta Neves
(CEABN/UTL), Centro de Estudos de Comunica��o e
Linguagens
josecasquilho@gmail.com
(CECL/UNL).
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